Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Persamaan linier dua variabel merupakan pengembangan lebih lanjut dari persamaan linier satu variabel. Untuk persamaan linier satu variabel sudah dibahas secara mendetail di kelas 7 semester 1. Persamaan linier dua variabel merupakan persamaan linier atau garis lurus yang memiliki dua variabel.

Sekarang coba perhatikan persamaan-persamaan berikut ini.

1. 6x + 5y + 8 = 3(x – y)

2. 2m – 3n + 1/2 = 6(2m + n)

3. q + 1 = 2q – 3r

4. 7y – 6 = 6y – 7z

5. 12r – 17s = 20(r – 2s)

Persamaaan-persamaan di atas merupakan contoh persamaan linier dua variabel, karena masing-masing persamaan memiliki dua variabel dan berpangkat satu. Pada persamaan 6x + 5y + 8 = 3(x – y) memiliki dua variabel yakni x dan y. Variabel pada persamaan 2m – 3n + 1/2 = 6(2m + n) yakni m dan n, variabel pada persamaan q + 1 = 2q – 3r yakni q dan r, variabel persamaan 7y – 6 = 6y – 7z yakni y dan z, dan variabel persamaan 12r – 17s = 20(r – 2s) yakni r dan s.

“Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan riil, a, b ≠ 0, dan x, y suatu variabel”. Sekarang silahkan lihat contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini.

1) 2(x – y) = 3(y – x) + ½

2) 2(p – q) = 3(p – r) + 4

3) (a – b)/2 + 2/c = (a – c) + 3

4) ½ (w – x) + 5 = 2w – x

5) 2r/3 + 2r/5 – s/7 = 12

Dari persamaan-persamaan di atas, yang mana merupakan persamaan linier dua variabel. Jelaskan!

Penyelesaian:

1) 2(x – y) = 3(y – x) + ½

Merupakan persamaan linier dua variabel karena memiliki dua variabel yakni x dan y

 2) 2(p – q) = 3(p – r) + 4

Bukan merupakan persamaan linier dua variabel karena memiliki tiga variabel yakni p, q dan r.

3) (a – b)/2 + 2/c = (a – c) + 3

Bukan merupakan persamaan linier dua variabel karena memiliki tiga variabel yakni a, b dan c.

4) ½ (w – x) + 5 = 2w – x

Merupakan persamaan linier dua variabel karena memiliki dua variabel yakni w dan x

5) 2r/3 + 2r/5 – s/7 = 12

Merupakan persamaan linier dua variabel karena memiliki dua variabel yakni r dan s

SPLDV dapat diselesaikan/dikerjakan dengan tiga cara yaitu:

1. Metode Substitusi

Apa itu metode substitusi?

 

Metode substitusi merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mensubstitusi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus mengganti variabel x terlebih dahulu. Misalnya kita akan mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 dengan menggunakan metode substitusi.

Kita harus mengubah terlebih dahulu salah satu persamaan tersebut menjadi persamaan yang ekuivalen dengan persamaan sebelumnya. Misalnya kita akan mengubah persamaan yang pertama 3x + y = 4. Persamaan 3x + y = 4 ekuivalen dengan y = 4 – 3x, kemudian substitusikan persamaan y = 4 – 3x ke persamaan yang kedua –x + 2y = 1, maka:

=> –x + 2y = 1

=> –x + 2(4 – 3x) = 1

=> –x + 8 – 6x = 1

=> –x  – 6x = 1 – 8

=> –7x = –7

=> x = –7/–7

=> x = 1

Selanjutnya untuk memperoleh nilai y, substitusikan nilai x ke persamaan y = 4 – 3x, sehingga diperoleh:

=> y = 4 – 3x

=> y = 4 – 3.1

=> y = 4 – 3

=> y = 1

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1 adalah {(1, 1)}.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

1. 4x + y = 8 dan x + 2y = 10

2. x + y = 5 dan y = x + 1

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0

Penyelesaian:

1. 4x + y = – 9 dan x + 2y = 10

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

x + 2y = 10 => x = 10 – 2y

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> 4x + y = – 9

=> 4(10 – 2y) + y = – 9

=> 40 – 8y + y = – 9

=> –7y = –49

=> y = –49/(–7)

=> y = 7

Substitusi y = 7 ke persamaan x = 10 – 2y, maka:

=> x = 10 – 2y

=> x = 10 – 2.7

=> x = 10 – 14

=> x =– 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(– 4, 7)}.

2. x + y = 5 dan y = x + 1

Karena variabel y sudah dalam bentuk persmaan, jadi tinggal mensubstitusikannya saja, maka:

=> x + y = 5

=> x + (x + 1) = 5

=> 2x + 1 = 5

=> 2x = 5 – 1

=> 2x = 4

=> x = 4/2

=> x = 2

Substitusi x = 2 ke persamaan y = x + 1, maka:

=> y = x + 1

=> y = 2 + 1

=> y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}.

3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0

Ubah salah satu variabel menjadi persamaan yang ekuivalen, yakni:

x + 5y = –5 => x = –5  – 5y

Substitusikan ke persamaan yang lainnya, maka:

=> x + y + 5 = 0

=> (–5  – 5y) + y + 5 = 0

=> – 4y = 0

=> y = 0

Substitusi y = 0 ke persamaan x = –5  – 5y, maka:

=> x = –5  – 5y

=> x = –5  – 5.0

=> x = –5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(– 5, 0)}.

2. Metode Eliminasi
Apa itu metode eliminasi?
 

Metode eliminasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk memecahkan atau mencari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabelnya. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila ingin mencari variabel y maka kita harus menghilangkan variabel x terlebih dahulu.

Perlu diingat, untuk mengeliminasi suatu variabel harus variabel tersebut memiliki koefisien yang sama. Jadi jika koefisien variabelnya belum sama maka terlebih dahulu menyamakan koefisiennya dengan cara mengalikan atau membaginya. Kemudian baru bisa menentukan variabel yang lain yang akan ditentukan. Jadi dalam metode eliminasi anda memerlukan dua kali mengeliminasi variabel. Agar kalian lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real.

1. x + y = 1 dan x + 5y = 5

2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8

3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4

Penyelesaian:

1. x + y = 1 dan x + 5y = 5

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman x + y = 1 dikalikan 5 dan persamaan x + 5y = 5 dikalikan 1, maka:

x + y = 1     │× 5 =>5x + 5y = 5

x + 5y = 5   │× 1 => x + 5y = 5

5x + 5y = 5

x + 5y = 5

---------------  –

4x + 0 = 0

x = 0

Langkah II (eliminasi variabel x)

Sama seperti langkah I, tidak perlu menyamakan koefisien untuk mengeliminasi variabel x karena koefisiennya sudah sama, maka:

x + y = 1

x + 5y = 5

---------------  –

0 + –4y = –4

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1)}.

2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 1 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 2, maka:

3x + 2y = 12        │× 1 =>3x + 2y = 12

2x – y = 8            │× 2 =>4x – 2y = 16

3x + 2y = 12

4x – 2y = 16

---------------  +

7x + 0 = 28

x = 28/7

x = 4

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x – y = 8 dikalikan 3, maka:

3x + 2y = 12        │× 2 =>6x + 4y = 24

2x – y = 8            │× 3 =>6x – 3y = 24

6x + 4y = 24

6x – 3y = 24

---------------  –

0 + 7y = 0

y = 0/7

y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0)}

3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 2 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 1, maka:

2x + y = 5  │× 2 =>4x + 2y = 10

3x – 2y = 4          │× 1 =>3x – 2y = 4

4x + 2y = 10

3x – 2y = 4

---------------  +

7x + 0 = 14

x = 14/7

x = 2

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 3 dan persamaan 3x – 2y = 4 dikalikan 2, maka:

2x + y = 5  │× 3 =>6x + 3y = 15

3x – 2y = 4          │× 2 =>6x – 4y = 8

6x + 3y = 15

6x – 4y = 8

---------------  –

0 + 7y = 7

y = 7/7

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)} 

3. Metode Grafik

Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jadi Anda harus mencari titik potong garis tersebut di koordinat y dengan membuat x = 0 yang akan berpotongan di (0, y), dan mencari titik potong garis tersebut di koordinat x dengan membuat y = 0 yang akan berpotongan di (x, 0). Kemudian menarik kedua garis tersebut sehingga berpotongan di suatu titik koordianat (x,y). Untuk memantapkan pemahaman Anda silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + y = 4 dan x + 2y = 6 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, Anda harus mencari koordinat titik potong di x dan y pada persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6. Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + y = 4, yakni:

jika x = 0, maka:

x + y = 4

0 + y = 4

y = 4 => titik potong di y (0, 4)

jika y = 0, maka:

x + y = 4

x + 0 = 4

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan x + y = 4 adalah (0,4) dan (4,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 6, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 4

0 + 2y = 4

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 6

x + 0 = 6

x = 6, => titik potong di x (6, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 6 adalah (0,2) dan (6,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + y = 4 dan x + 2y = 6 di atas tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 1). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6 adalah {(3, 1)}.

Nah penjelasan di atas merupakan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel jika kedua garis itu berpotongan di suatu titik koordinat. Bagaimana kalau kedua garis tersebut tidak pernah berpotongan?

Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan  kosong. Berikut Mafia Online berikan contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang menghasilkan penyelesaian berupa himpunan kosong.

Contoh Soal 2

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan

linear dua variabel x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Sekarang kita cari titik potong di x dan y persamaan x + 2y = 2, yakni:

jika x = 0, maka:

x + 2y = 2

0 + y = 1

y = 1 => titik potong di y (0, 1)

jika y = 0, maka:

x + 2y = 2

x + 0 = 2

x = 2, => titik potong di x (2, 0)

Jadi titik potong persamaan x + 2y = 2 adalah (0,1) dan (2,0)

Kita cari titik potong di x dan y persamaan 2x + 4y = 8, yakni:

jika x = 0, maka:

2x + 4y = 8

0 + 4y = 8

y = 2 => titik potong di y (0, 2)

jika y = 0, maka:

2x + 4y = 8

2x + 0 = 8

x = 4, => titik potong di x (4, 0)

Jadi titik potong persamaan 2x + 4y =8 adalah (0,2) dan (4,0)

Sekarang buat garis dari kedua persamaan tersebut berdasarkan titik potong, yakni seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan dari x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 di atas tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong { }.