Barisan Dan Deret Bilangan

A. Mencari Suku Ke-n
Dalam barisan aritmatika kita akan mengenal tingkatan-tingkatan barisan aritmatika. Mulai dari barisan aritmatika tingkat kesatu, tingkat kedua, tingkat ketiga, dan seterusnya. Dalam hal ini Mafia Online hanya membahas sampai barisan aritmatika tingkat ketiga. Rumus secara umum suku ke-n dari barisan artimatika:

Tingkat 1 => Un = an + b

Tingkat 2 => Un = an² + bn + c

Tingkat 3 => Un = an³ + bn² + cn + d
B. Perbedaan Baris Dan Deret

Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya, barisan bilangan

a. 45, 50, 55, 60, 65, ..., 120

b. 3, 6, 9, 12, 15, ..., 30 dan

c. 5, 10, 15, 20, 25, ...,55.

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan bilangan disebut suku barisan. Misalnya, pada barisan bilangan genap 2, 4, 6, 8, ... suku ke-1 dari barisan tersebut adalah 2, suku ke-2 adalah 4, suku ke-3 adalah 6, dan seterusnya. Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan.

Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh penjumlahan berikut.

a. 45 + 50 + 55 + 60 + 65,

b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15,

c. 5 + 10 + 15 + 20 + 25.

Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakan deret.
C. Barisan Aritmatika Dan Barisan Geometri
1). Barisan Aritmatika 

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai sesuatu yang menggunakan prinsip barisan aritmatika. Misalnya pada pemasangan meja di gedung DPR RI di Senayan seperti gambar berikut ini.

Pada gambar di atas tampak pada barisan ke-1 terdiri dari 4 buah meja, barisan ke-2 teridiri dari 5 buah meja, barisan ke-3 terdiri 6 buah meja dan begitu juga seterusnya. Sekarang, bisakah kamu menebak berapa ada meja pada barisan ke-7 dan jumlah semua meja tersebut dari barisan ke-1 sampai barisan ke-7? Untuk memjawab hal tersebut anda harus pahami terlebih dahulu konsep barisan dan deret aritmatika.

Sekarang coba perhatikan contoh barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

b. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un.

Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Barisan bilangan yang demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua suku berurutan pada barisan (b) tidak tetap. Barisan bilangan (b) bukan merupakan barisan aritmetika.

.

Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum, barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi

Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.

Suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.

Un = a + (n – 1) b

2) . Barisan Geometri

Mungkin anda pernah mendengar penyakit diare. Salah satu penyebab penyakit diare adalah Bakteri Escherichia coli. Bakteri ini berkembang biak dengan cara membelah diri menjadi dua tiap setiap 15 menit. Jadi bakteri jenis ini akan menjadi dua kali lipat setiap 15 menit. Jika ada 10 bakteri maka dalam 15 menit banyak bakteri tersebut ada 20 dan dalam 30 menit bakteri tersebut menjadi 40. Berapa banyak bakteri tersebut dalam 10 jam?

 

Untuk menjawab pertanyaan tersebut anda harus menguasai konsep barisan dan deret geometri. Apa itu barisan geometri dan apa itu deret geometri? Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya.

Untuk lebih jelasnya silahkan lihat contoh barisan berikut ini.

a. 3, 9, 27, 81,

b. 16, 8, 4, 2,

c. 2, 8, 24, 120.

Pada barisan (a) tampak bahwa 9/3 = 27/9 = 81/27 = 3. Jadi, perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan, yaitu ½. Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan barisan geometri.

Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

U_n = ap^n–1

Sekarang kita akan dapat hitung berapa jumlah bakteri Escherichia coli dalam 10 jam jika pada awalnya ada 10 bakteri kemudian membelah tiap 15 menit. Kita konversi terlebih dahulu 10 jam menjadi menit, di mana dalam 10 jam sama dengan 600 menit. Maka dalam 600 menit bakteri sudah membelah diri sebanyak 40 kali. Maka:

a = 10

r = 2

n = 40

U_n = ap^n–1

U_n = 10.2^40–1

U_n = 10.2³⁹

U_n = 5.497.558.138.880 atau 5,5 x 10¹²

Jadi dalam 10 jam akan ada bakteri sebanyak 5,5 milyar. 

D. Deret Aritmatika Dan Deret Geometri

1) . Deret Aritmatika

Sekarang coba perhatikan kembali contoh barisan bilangan berikut ini.

1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,

Jika dijumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai

berikut.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un

Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut?

Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut.

Sn = (n/2)(a + Un)

Kita ketahui bahwa Un = a + (n – 1) b, rumus untuk jumlah dari deret aritmatika dapat ditulis sebagai berikut.

Sn = (n/2)(2a + (n – 1) b)

2). Deret Geometri

Sekarang perhatikan pernyataan berikut ini. Iwan ingin menabung di bank dengan setoran awal sebesar Rp 100.000,00. Tiap bulannya Iwan menabung 2 kali lipat dari setoran sebelumnya. Berapa jumlah uang yang sudah ditabungkan Iwan selama 1 tahun?

Untuk menjawab soal tersebut anda harus memahami terlebih dahulu konsep deret geometri. Apa itu deret geometri? Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini.

1, 3, 9, 27, 81, ..., Un

Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ... +Un

Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.

Rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

Sn = a(1-rⁿ)/(1-r)

atau

Sn = a(rⁿ - 1)/(r-1)

Sekarang kita akan jawab berapa jumlah uang yang sudah ditabungkan iwan selama 1 tahun (12 bulan).

Diketahui:

a = Rp. 100.000,00

r = 2

n = 12

Ditanyakan:

U12 = ?

Jawab:

Sn = a(rⁿ - 1)/(r-1)

S12 = 100.000(2¹² - 1)/(2-1)

S12 = 100.000(4.096 - 1)/(1)

S12 = 100.000(4.095)

S12 = 409.500.000

Jadi jumlah tabungan Iwan dalam 1 tahun adalah Rp. 409.500.000. Wow keren kan kalau anda bisa menabung seperti itu. Dalam 1 tahun saja anda sudah bisa beli rumah.