Kerucut

Unsur-Unsur Kerucut

Kerucut dapat didefinisikan sebagai bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar satu putaran penuh (360°), di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran seperti gambar di bawah ini.  

Bangun ruang kerucut pada gambar di atas dibentuk dari segitiga siku-siku TOA dengan siku-siku di titik O. Kemudian segitiga siku-siku tersebut yang diputar, di mana sisi TO sebagai pusat putaran maka diperoleh bangun ruang seperti gambar traffic cone di atas.  

Sama seperti bangun ruang tabung, bangun ruang kerucut juga memiliki unsur-unsur penyusunnya. Untuk mengetahui unsur-unsur kerucut perhatikan gambar di bawah ini.

a. Sisi Alas Kerucut

Sisi alas kerucut merupakan sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat O (lihat gambar di atas).

b. Jari-Jari Kerucut

Sekarang perhatikan titik A dan O dan titik B dan O pada bidang alas kerucut. Ruas garis AO dan BO dinamakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang alas kerucut). Jari-jari lingkaran merupakan jarak pusat lingkaran ke titik pada lingkaran.

d. Diameter atau Garis Tengah Lingkaran

Sekarang perhatikan ruas garis AB. Ruas garis AB dinamakan diameter atau garis tengah lingkaran. Diameter lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran. Panjang diameter lingkaran merupakan dua kali jari-jari lingkaran.

e. Tinggi Kerucut

Sekarang perhatikan titik O dan T. Ruas garis yang menghubungkan titik O dan T dinamakan tinggi kerucut, biasanya dinotasikan dengan t. Tinggi kerucut disebut juga sumbu simetri putar kerucut.

f. Selimut Kerucut

Selimut kerucut merupakan bidang kerucut selain bidang alas atau bidang lengkung. Selimut kerucut sering disebut dengan sisi lengkung kerucut. Garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak T ke titik pada lingkaran (misalnya TA dan TB) dinamakan garis pelukis kerucut (s).

Dengan unsur-unsur dari bangun ruang kerucut yang sudah dijelaskan di atas, kita bisa menentukan luas permukaan kerucut.
Luas Permukaan Kerucut

Secara geometris gambar benda-benda di atas yang berbentuk bangun ruang kerucut dapat digambarkan seperti gambar bawah ini.

Sisi alas kerucut berbentuk lingkaran dan sisi tegak berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut. Jadi bangun ruang kerucut dibatasi oleh dua sisi, yaitu sisi alas dan selimut kerucut. Pada gambar di atas, t merupakan tinggi kerucut, r adalah jari-jari alas kerucut, dan s disebut garis pelukis.

Bila kerucut dipotong menurut garis pelukis s dan sepanjang keliling alasnya, maka didapat jaring-jaring kerucut, seperti gambar di bawah ini.

Jika diperhatikan luas permukaan kerucut di atas terdiri dari luas alas lingkaran A dan luas selimut BCB’. Untuk menghitung luas permukaan kerucut, kita harus mencari luas selimut terlebih dahulu. Luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran. Dalam hal ini, luas selimut tersebut merupakan luas juring lingkaran dengan titik pusat di C dan berjari-jari s (garis pelukis kerucut menjadi jari-jari lingkaran C), seperti gambar di bawah ini.

Maka, luas selimut kerucut atau luas juring BCB’ dapat di cari dengan menggunakan hubungan antara luas juring dengan panjang busur lingkaran, yakni

Luas BCB’/Luas C = Panjang BB’/keliling C

Dalam hal ini panjang BB’ merupakan keliling lingkaran A yakni 2πr, sedangkan luas lingkaran C dapat dicari dengan menggunakan jar-jari s yang merupakan garis pelukis kerucut yakni πs² dan keliling lingkaran C dapat dicari yakni 2πs. Maka persamaan di atas menjadi:

Luas BCB’/πs² = 2πr/2πs

Luas BCB’/πs² = r/s

Luas BCB’ = πs²r/s

Luas BCB’ = πrs

Jadi luas selimut kerucut dapat dirumuskan:

L selimut = πsr

Sedangkan alas kerucut merupakan luas lingkaran A yakni πr², maka luas permukaan kerucut dapat dicari yakni:

L = luas alas + luas selimut

L = πr² + πsr

L =πr(r+s)

Jadi luas permukaan kerucut dapat dirumuskan:

L = πr(r+s)

Panjang s dapat dicari dengan menggunakan teorema Phytagoras, yakni:

s² = r² + t²

s = √(r² + t²)

Volume Kerucut

 Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas sebelah kiri menunjukkan bangun limas segi banyak beraturan. Jika rusuk-rusuk pada bidang alasnya diperbanyak secara terus-menerus maka akan diperoleh bentuk yang mendekati kerucut (gambar di atas sebelah kanan). Oleh karena itu, kerucut dapat dipandang sebagai limas. Kerucut memiliki bidang alas berupa daerah lingkaran dan bidang sisi tegaknya berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

Karena kerucut merupakan limas segi banyak, maka volume kerucut dapat dicari dengan menggunakan konsep volume limas. Kita ketahui bahwa volume limas dicari dengan persamaan matematis:

Volume = 1/3 x luas alas x tinggi

Karena kerucut alasnya berbentuk lingkaran, maka:

Volume = 1/3 x luas lingkaran x tinggi

Kita juga telah mengetahui bahwa luas lingkaran dirumuskan yaitu:

L = πr²

Maka maka volume kerucut dapat dirumuskan yakni:

Volume = 1/3 x πr² x t

Volume = 1/3(πr²t)

Jadi, volume kerucut adalah:

V = (1/3)πr²t

Dalam hal ini:

V = volume kerucut

r = jari-jari alas kerucut

t = tinggi kerucut

π = 3,14 atau 22/7.

Contoh Soal

1. Luas permukaan kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm adalah ….

A.  85 π cm²

B.  90 π cm²

C.  220 π cm²

D.  230 π cm²

^{2. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 14 cm dan tingginya 6 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut.}

^Penyelesaian

^1. Kita harus mencari nilai s terlebih dahulu, dalam hal ini r = d/2 = 5 cm, maka:

s = √(r² + t²)

s = √(5² + 12²)

s = √(25 + 144)

s = √169

s = 13 cm

L = πr(r+s)

L = π.5.(5+13)

L = 90 π cm²

Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 90 π cm² (Jawaban B)

^2. d = 14 cm => r = ½ x 14 cm = 7 cm

V = (1/3)πr²t

V = (1/3)(22/7)(7 cm)².6 cm

V = 308 cm²

Jadi, volumenya adalah 308 cm³.